Théorème de la limite monotone :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) une fonction monotone sur un intervalle \(I\) de \(\Bbb R\) de bornes \(a\) et \(b\), \(-\infty\leqslant a\lt b\leqslant+\infty\)
Si \(x_0\in\mathring I\), alors \(f\) possède une limite à droite et à gauche en \(x_0\)
De plus, \(f\) possède une limite à gauche en \(b\) (éventuellement infinie) et une limite à droite en \(a\) (éventuellement infinie)
(Intérieur d’un intervalle, Limite à gauche - Limite à droite, Fonction monotone)
Remarque :
Si \(f\) est croissante sur \(I\), \(x_0\in\mathring I\), on a : $${{\lim_{x\underset\lt \to x_0}f(x)}}\leqslant {{f(x_0)}}\leqslant{{\lim_{x\underset\gt \to x_0}f(x)}}$$
Application : soit \(f:\underset{x\longmapsto\log x}{0,+\infty[\to\Bbb R}\), on a \(\underset{x\to+\infty}\lim\log x=+\infty\) $$\begin{align}&\text{la fonction }f\text{ est croissante}\\ &\text{par le théorème de la limite monotone,}\\ &\ell=\underset{x\to+\infty}\lim\log x\text{ existe dans }\Bbb R\cup\{+\infty\}\\ &\text{pour toute suite }(u_n)_{n\in\Bbb N},u_n\in]0,+\infty[,u_n\to+\infty,\\ &\text{on a : }\log(u_n)\underset{n\to+\infty}\longrightarrow\ell\\ &\text{en particulier, pour }u_n=2^n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty\tag{2 \gt 1}\\ &\log(u_n)=\log(2^n)=n\log2\underset{n\to+\infty}\longrightarrow +\infty\tag{log(2)\gt 0}\\ &\implies\ell=+\infty\end{align}$$]
Corollaire du théorème de la limite monotone :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) monotone sur un intervalle \(I\) de \(\Bbb R\)
On a : $$\begin{align}&{{f\text{ continue sur }I}}\\ \iff&{{f(I)\text{ est un intervalle} }}\end{align}$$
(Fonction monotone, Intervalle ouvert, Continuité, Image (algèbre linéaire))
Démonstration : $$\begin{align}\implies:&\text{ TVI}\\ \impliedby:&\text{ supposons que }f(I)\text{ est un intervalle et que }f\text{ est continue}\\ &\text{montrons que }f\text{ est continue par l'absurde}\\ &\text{autrement dit, il existe }x_0\in I\text{ tel que }f\text{ n'est pas continue}\\ &\text{faisons la preuve dans le cas où }x_0\in\mathring I\\ &\text{d'après le théorème précédent, comme }f\nearrow,\\ &\text{on a : }\ell^-=\lim_{x\underset\lt \to x_0}f(x)\leqslant f(x_0)\leqslant\ell^+=\lim_{x\underset\gt \to x_0}f(x)\\ &\text{comme }f\text{ n'est pas continue en }x_0,\text{ on a : }\ell^-\lt f(x_0)\\ &\text{comme }x_0\in\mathring I,\exists\eta\gt 0,x_0-\eta,x_0+\eta[\subset I\\ &\text{fixons }x_1\text{ tq }x_0-\eta\lt x_1\lt x_0\\ &\text{on a : }f(x_1)\leqslant\ell^-\leqslant f(x_0)\\ &\text{choisissons }y\text{ tq }\ell^-\lt y\lt f(x_0)\\ &\text{en particulier, }y\in]f(x_1),f(x_0)[\\ &\text{et comme }f(I)\text{ est un intervalle,}\\ &\text{il existe }x_2\in I,y=f(x_2)\\ &\text{d'où }\ell^-\lt f(x_2)=y\lt f(x_0)\\ &\text{comme }f\text{ est croissante, on a : }x_2\lt x_0\\ &\text{pour tout }x\in]x_2,x_0[,\ell^-\lt f(x_2)\leqslant f(x)\leqslant f(x_0)\\ &\text{d'où }\ell^-\lt f(x_2)\leqslant\lim_{x\underset\lt \to x_0}f(x)=\ell^-\\ &\implies\ell^-\lt \ell^-\qquad\text{(absurde)} \end{align}$$ (Théorème des valeurs intermédiaires)]
Théorème de la limite monotone :
Si \((A_n)_{n\geqslant n_0}\) est une suite croissante d'événements, alors la suite \(({\mathcal P}(A_n))_{n\geqslant n_0}\) est convergente
(Suite croissante d’évènements, Suite convergente)
Théorème de la limite monotone :
Si \((A_n)_{n\geqslant n_0}\) est une suite croissante d'événements, alors $${{\Bbb P\left({\bigcap^{+\infty}_{n=n_0}A_n}\right) }}={{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\Bbb P(A_n)}}$$
(Suite croissante d’évènements, Probabilité, Union - Réunion, Suite convergente)
Corollaire du théorème de la limite monotone : $${{\Bbb P\left({\bigcup^{+\infty}_{n=n_0}A_n}\right) }}={{\lim_{n\to+\infty}\Bbb P\left({\bigcup_{k=n_0}^nA_k}\right) }}$$
(Union - Réunion, Suite convergente)
Corollaire du théorème de la limite monotone : $${{\Bbb P\left({\bigcap^{+\infty}_{n=n_0}A_n}\right) }}={{\lim_{n\to+\infty}\Bbb P\left({\bigcap_{k=n_0}^nA_k}\right) }}$$
(Union - Réunion, Suite convergente)